Найти все значения числа а,при которых множество решений неравенства |а^2+3a-5-x| ≥4+|2x+4| содержит отрезок длины большей или равной 1.

Автор: beardy. Предмет: Математика. Опубликовано: 19.11.2018 beardy
  1. Intilack Пользователь Intilack оставил ответ:
    Оценка ответа

    |a^2+3a-5-x| > = 4 + |2x+4|
    Здесь две особые точки: x1 = a^2+3a-5 и x2 = -2.
    1) Пусть a^2+3a-5 < -2
    a^2+3a-3 < 0
    D = 3^2 — 4*1*(-3) = 9 + 12 = 21
    a1 = (-3 — √21)/2 ≈ -3,79; a2 = (-3 + √21)/2 ≈ 0,79
    a ∈ ((-3 — √21)/2; (-3 + √21)/2)
    1) а) Если x < a^2+3a-5 < -2, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = -2x-4
    a^2 + 3a — 5 — x > = 4 — 2x — 4
    -x <= a^2 + 3a — 5
    x > = -a^2 — 3a + 5
    Решим неравенство
    -a^2 — 3a + 5 < a^2 + 3a — 5
    a^2 + 3a — 5 > 0
    Но по условию x < a^2+3a-5 < -2 < 0, поэтому
    Решений нет при x < (a^2+3a-5) < -2
    1) б) Если a^2+3a-5 <= x < -2, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = -2x-4
    x — a^2 — 3a + 5 > = 4 — 2x — 4
    -a^2 — 3a + 5 > = -3x
    x > = (a^2+3a-5)/3
    Но по условию x ∈ [a^2+3a-5; -2), поэтому решим неравенство
    (a^2+3a-5)/3 < -2
    a^2+3a-5 < -6
    a^2+3a+1 < 0
    D = 9 — 4 = 5
    a1 = (-3 — √5)/2 ≈ -2,618 ; a2 = (-3 + √5)/2 ≈ -0,382
    Если a ∈ ((-3 — √5)/2; (-3 + √5)/2), то x ∈ [(a^2+3a-5)/3; -2)
    Длина этого интервала больше или равна 1, если
    (a^2+3a-5)/3 <= -3
    a^2+3a-5 <= -9
    a^2+3a+4 <= 0
    Это неравенство решений не имеет.
    Если a ∈ ((-3 — √21)/2; (-3 — √5)/2] U [(-3 + √5)/2; (-3 + √21)/2)
    то решений нет.
    1) в) Если a^2+3a-5 < -2 <= x, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = 2x+4
    x — a^2 — 3a + 5 <= 4 + 2x + 4
    -a^2 — 3a + 5 — 8 > = x
    x <= -a^2 — 3a — 3
    Решим неравенство
    -a^2 — 3a — 3 > = -2
    a^2 + 3a + 1 <= 0
    a1 = (-3 — √5)/2 ≈ -2,618 ; a2 = (-3 + √5)/2 ≈ -0,382
    Если a ∈ [(-3 — √5)/2; (-3 + √5)/2], то x ∈ [-2; -a^2-3a-3]
    Длина этого интервала больше или равна 1, если
    -a^2-3a-3 > = -1
    -a^2-3a-2 > = 0
    a^2+3a+2 <= 0
    (a+1)(a+2) <= 0
    При a ∈ [-2; -1] и при условии a^2+3a-5 < -2 <= x
    длина интервала x ∈ [-2; -a^2-3a-3] не меньше 1.
    Если a ∈ ((-3 — √21)/2; (-3 — √5)/2) U ((-3 + √5)/2; (-3 + √21)/2)
    то решений нет.
    2) Пусть a^2+3a-5 = -2
    a^2+3a-3 = 0
    D = 3^2 — 4*1*(-3) = 9 + 12 = 21
    a1 = (-3 — √21)/2 ≈ -3,79; a2 = (-3 + √21)/2 ≈ 0,79
    |-2 — x| > = 4 + |2x + 4|
    2) а) Если x < -2, то |-2-x| = -2-x; |2x+4| = -2x — 4
    -2 — x > = 4 — 2x — 4
    -2 > = -x
    x > = 2
    Но по условию x < -2, поэтому решений нет.
    2) б) Если x > = -2, то |-2-x| = x+2; |2x+4| = 2x+4
    x + 2 > = 4 + 2x + 4
    -6 > = x, но по условию x > = -2, поэтому решений нет.
    3) Пусть a^2+3a-5 > -2
    a^2+3a-3 > 0
    D = 3^2 — 4*1*(-3) = 9 + 12 = 21
    a1 = (-3 — √21)/2 ≈ -3,79; a2 = (-3 + √21)/2 ≈ 0,79
    a ∈ (-oo; (-3 — √21)/2) U ((-3 + √21)/2; +oo)
    3) a) Если x < -2 <= a^2+3a-5, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = -2x-4
    a^2 + 3a — 5 — x > = 4 — 2x — 4
    -x <= a^2 + 3a — 5
    x > = -a^2 — 3a + 5
    Решим неравенство
    -a^2 — 3a + 5 < -2
    -a^2 — 3a + 7 < 0
    a^2 + 3a — 7 > 0
    D = 3^2 + 4*7 = 9 + 28 = 37
    a1 = (-3-√37)/2 ≈ -4,541; a2 = (-3+√37)/2 ≈ 1,541
    Если a ∈ (-oo; (-3-√37)/2) U ((-3+√37)/2; +oo), то x ∈ [-a^2-3a+5; -2)
    Длина этого интервала больше или равна 1, если
    -a^2-3a+5 <= -3
    0 <= a^2+3a-8
    D = 3^2+4*8 = 9+32 = 41
    a1 = (-3 — √41)/2; a2 = (-3 + √41)/2
    При a ∈ (-oo; (-3 — √41)/2] U [(-3 + √41)/2; +oo) и при условии
    x < -2 <= a^2+3a-5 длина интервала x ∈ [-a^2-3a+5; -2) не меньше 1.
    Если a ∈ ((-3-√37)/2; (-3-√21)/2) U ((-3+√21)/2; (-3+√37)/2)
    то решений нет.
    3) б) Если -2 <= x < a^2+3a-5, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = 2x+4
    a^2 + 3a — 5 — x > = 4 + 2x + 4
    a^2 + 3a — 13 > = 3x
    x <= (a^2 + 3a — 13)/3
    Решим неравенство
    (a^2 + 3a — 13)/3 > -2
    a^2 + 3a — 13 > -6
    a^2 + 3a — 7 > 0
    a1 = (-3 — √37)/2 ≈ -4,541; a2 = (-3 + √37)/2 ≈ 1,541
    Если a ∈ (-oo; (-3 — √37)/2) U ((-3 + √37)/2; +oo), то x ∈ [-2; (a^2+3a-13)/3]
    Длина этого интервала больше или равна 1, если
    (a^2+3a-13)/3 > = -1
    a^2+3a-13 > = -3
    a^2+3a-10 > = 0
    (a+5)(a-2) > = 0
    При a ∈ (-oo; -5] U [2; +oo) и при условии -2 <= x < a^2+3a-5
    длина интервала x ∈ [-2; (a^2+3a-13)/3] не меньше 1.
    Если a ∈ ((-3 — √37)/2; (-3 — √21)/2) U ((-3 + √21)/2; (-3 + √37)/2)
    то решений нет.
    3) в) Если -2 <= a^2+3a-5 <= x, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = 2x+4
    x — a^2 — 3a + 5 > = 4 + 2x + 4
    -a^2 — 3a — 3 > = x
    x <= -a^2 — 3a — 3
    Решим неравенство
    a^2 + 3a — 5 < -a^2 — 3a — 3
    2a^2 + 6a — 2 < 0
    D/4 = 3^3 — 2(-2) = 9 + 4 = 13
    a1 = (-3 — √13)/2 ≈ -3,303; a2 = (-3 + √13)/2 ≈ 0,303
    a ∈ ((-3 — √13)/2; (-3 + √13)/2) ≈ (-3,303; 0,303)
    Но по условию 3 пункта
    a ∈ (-oo; (-3 — √21)/2) U ((-3 + √21)/2; +oo) ≈ (-oo; -3,79) U (0,79; +oo)
    Поэтому, если -2 <= a^2+3a-5 <= x, то решений нет.
    Ответ:
    1) При a ∈ (-oo; (-3 — √41)/2] U [(-3 + √41)/2; +oo) и при условии
    x < -2 <= a^2+3a-5 длина интервала x ∈ [-a^2-3a+5; -2) не меньше 1.
    2) При a ∈ (-oo; -5] U [2; +oo) и при условии -2 <= x < a^2+3a-5
    длина интервала x ∈ [-2; (a^2+3a-13)/3] не меньше 1.
    3) При a ∈ [-2; -1] и при условии a^2+3a-5 < -2 <= x
    длина интервала x ∈ [-2; -a^2-3a-3] не меньше 1.

Отправить свой ответ

Математика. Похожие вопросы: